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domingo, 30 de agosto de 2015

Vamos falar de semelhança na Geometria Espacial ?


Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.


Dessa forma:

k é chamado razão de semelhança.
• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios, etc.
• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre as áreas é .
• Considerando os resultados acima, na geometria espacial, quando temos dois sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, .

Exemplo:
Numa pirâmide com altura de 30 cm e área da base igual a 150 cm². Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco de pirâmide obtido quando seccionamos paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que:

h = 30 – 17 = 13 e desta forma a razão de semelhança entre a pirâmide menor (acima do corte) e o tronco de pirâmide (abaixo do corte) é k = 13/30 ;

  ,  Assim


Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm².

quinta-feira, 30 de julho de 2015

A área do círculo e a imaginação dos matemáticos


O conceito de área de figuras planas cuja superfície a ser medida é limitada por segmentos de reta no ensino fundamental não é algo que estudantes encontram grandes dificuldades. De forma geral os livros que temos exploram bem o assunto. Já no caso de área de figuras planas cujo contorno não é formado por segmentos de reta (como por exemplo, o círculo ou parte dele, entre outras) é um problema. Sinto falta de situações mais adequadas e criativas (inclusive em avaliações oficiais) e acredito que poderia ser melhor explorado ou problematizado. Problemas envolvendo a área do círculo são boas oportunidades de contexto dentro da própria Matemática. Observe a figura a seguir:
No quadrado de lado unitário, qual é a área do olho (região amarela)?

Nesta próxima figura temos um círculo entre dois quadrados. Veja:

O quadrado maior possui área de 36 cm² e menor área de 25 cm². Entre os dois quadrados temos um círculo e isso nos garante que a área do círculo, em destaque, é maior que 25 cm² e menor que 36 cm², más não conseguimos definir exatamente esse valor. E como descobrir? 
Esse é um problema ocupou parte da mente de vários matemáticos gregos; entre eles, podemos citar Eudoxio e Arquimedes. Ambos construíram um método para calcular áreas de figuras planas, que consiste na aproximação por polígonos. A ideia de aproximação não fornece um valor exato, a menos que imaginemos uma seqüência infinita de aproximações. Imaginar o círculo “cortado” em formato de pizza como ilustra a figura abaixo é o começo desse método. Imaginar ainda que esses pedaços possam ser infinitamente menores pode nos fornecer uma expressão que nos dará a área do círculo com base em algo já conhecido. 
Observando as figuras é possível concluirmos que a área do círculo é a mesma área de um retângulo de base πr e altura r, ou seja, A = πr². Como sugestão veja este link: , que ilustra bem o fato. Finalizando, esse povo que faz Matemática tem imaginação e criatividade né? Até o próximo.

terça-feira, 30 de junho de 2015

Um truque numérico

   
    Que tal aprendermos um truque numérico? Convide um colega e peça a ele que pense, sem dizer, num número natural abc com três algarismos, sendo o algarismo das centenas diferente do algarismo das unidades, ou seja, ac. Depois, troque a posição dos algarismos da centena e da unidade, obtendo cba. Calcule a diferença do maior pelo menor. É possível dizer qual a diferença encontrada sabendo apenas o primeiro (ou o último) algarismo desse resultado. Você descobre como?

    Vamos experimentar alguns valores. Por exemplo, se abc = 275, então cba = 572 e dessa forma cbaabc = 297. Se abc = 880, então cba = 088 e abccba = 792. De forma geral, nas condições pedidas pelo truque, a diferença abccba (ou cbaabc) é sempre um número cuja forma é a9b e, além disso, sempre a + b = 9; portanto, conhecendo a (ou b), sempre é possível descobrir qual é a diferença encontrada sem conhecer o número pensado.

    Agora que você já sabe como o truque funciona experimente com outros colegas, mas não diga como o truque funciona ok? Imagine também o mesmo problema com 4 ou mais algarismos.

sábado, 30 de maio de 2015

O teorema de Euclides e a Wikipédia


A democratização do conhecimento pela internet é algo indiscutivelmente necessária, admirável, magnífica, etc. São inúmeras as iniciativas e possibilidades, me surpreendo muito ainda. É claro que ao certificarmos uma informação ou conhecimento, é preciso antes consultar e comparar diversas fontes e uma delas, eventualmente, pode ser a Wikipédia. Num dia destes, estava a rever um teorema bastante importante na teoria dos números, o Teorema de Euclides, e como professor de Matemática, fui visitar primeiro um velho livrinho* que tenho guardado em meu acervo e lá, observar como é apresentado o tal. O meu olhar naturalmente estava influenciado pela clareza, pela didática, etc., ou seja, como o assunto é exposto. Procurei ainda em mais um ou dois livros e não satisfeito, fui em seguida ao Google observar outras referências e surpreendentemente calho na... Wikipédia! O tal teorema estava ali, didaticamente acessível, melhor apresentado e comprovado do que no meu surrado livrinho. Não resisti e transcrevo-o a seguir.


Considerando L, uma lista finita qualquer de números primos:
L = { p1, p2, p3, ... , pn
Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. 

Veja como:
Sendo P o produto de todos os números primos na lista:

P = p1 × p2 × p3 × ... × pn  e  q = P + 1

Então, q pode ser primo ou não:

Se q é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.

• Se q não é primo, então algum fator primo p divide q. Esse fator p não está na nossa lista L. Se estivesse, ele dividiria P (pois P é o produto de todos os números na lista); mas como sabemos, p divide P + 1 = q. Então, para não deixar resto, p teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (P + 1) − P ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, p não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.

Isso nos prova que para qualquer lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.

Depois do exposto, convenhamos, só nos resta dizer: É urgente a democratização do conhecimento (e do acesso livre a internet, principalmente nas escolas).

Veja os 30 primeiros números primos : 

• Vamos ?


?

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